| |||
|
| Задания 2 тура |
|
Задание 1.
Незнайка, готовясь к предстоящим испытаниям по математике, заготовил несколько шпаргалок: 1 шпаргалка. ***Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной, если проводить ее ровно. 2 шпаргалка. ***Бесподобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно неравны, а стороны одного непропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. 3 шпаргалка. ***Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, отличный! … много лучше перпендикуляра к плоскости. 4 шпаргалка. ***Криволинейная трапеция состоит из 3 отрезков, но они не являются отрезками. 5 шпаргалка. ***Когда две плоскости пересекаются, там точек много. Сейчас посчитаю. 6 шпаргалка. ***При сложении векторов вектора складываются. 7 шпаргалка. ***Квадрат четвёртого измерения прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трёх измерений. 8 шпаргалка ***Квадратная гипотенуза равна квадратным катетам. Попытайтесь найти 2 потерянные шпаргалки Незнайки (придумайте их сами) и пришлите их вместе с точными формулировками теорем. 2задание. Калькулятор использовать на экзамене по математике запрещено, порекомендуем вам вспомнить техники быстрого счета. Например: возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков: 59*59=3481, так как 1) 25+9=34 (пишем впереди 34) 2) 9*9=81 (приписать после 34-х) использование формул сокращённого умножения (а-в)(а+в)= аа-вв: 98*102=(100-2)(100+2)=10000–4=9996 Способов быстрого счета очень много, опишите 3 из них подробно. 3задание. Субботний вечер. Студенты Денис, Максим, Екатерина и Анна склонились над столом. -Ани, Дэн, Кэт давайте посоветуем нашим одинадцатиклассникам повторить раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников. -Да, тригонометрия им пригодится. Зададим мы им вопрос, пусть « головы поломают». -Итак, Макс, что мы имеем, огласи весь список, пожалуйста? -Легко, слушайте: (5, 12, 13), (60, 91, 109), (60, 11, 61), (20, 99, 101), (65, 72, 97), (39, 80, 89), (13, 84, 85), (28, 45, 53). -Достаточно Макс, восемь примитивных троек натолкнут их на правильную мысль. -Нет, пусть каждый даст по подсказке. -Находить эти троечки мне помогает геометрическая теорема, которая, в «Началах» Евклида именуется, как «теорема нимфы», её чертёж очень схожий на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами,- произнесла Анна. - Также ее называли «теоремой невесты» оттого, что когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста,- сказала Катюша. -А в Индии «правилом верёвки», - дал свою подсказку Максим. -Я использую эту же теорему и знаю, что греки называли тех, кто не мог без посторонней помощи доказать простую теорему, профанами. Поэтому не удивительно, что саму теорему, которая широко использовалась в прикладных науках, в том числе и для разметки полей или строительства пирамид, древние греки называли «мостом ослов». А в средние века доказательство называлось «бегство убогих», - добавил Денис. Отгадайте, о какой теореме идет речь, и с помощью обратной теоремы, найдите несколько примитивных троек. |
| Ответы на задания 2 тура |
|
1 задание.
Молодцы, вы неплохо знаете теоремы, умеете подобрать актуальные, обладаете чувством юмора и умеете шифровать. В коллекциях математического юмора появятся СМЕШНЫЕ (смежные) углы, ПРИВЕДЕНИЯ (приведенные) уравнения, математическая деградация (арифметическая прогрессия), ПАРА-ЛЕНИВЫЕ (параллельные) и многое другое, смотрите сами в ответе ниже. Перевод Незнайкиных трудов может содержать варианты. 1 шпаргалка. ***Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну («не более одной») прямую, параллельную данной. 2 шпаргалка. ***Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. 3 шпаргалка. ***Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, отличный от перпендикуляра к плоскости. 4 шпаргалка. *** Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b]. 5 шпаргалка. ***Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. 6 шпаргалка. ***При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются. 7 шпаргалка. ***Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. 8 шпаргалка ***Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Некоторые ваши варианты шпаргалок в коллекцию Незнайке: *** Сумма смешных углов равна 180 градусов. (Сумма смежных углов равна 180 градусов). *** Углы смешные, если у них одна сторона едина, а другие дружат с одной прямой. ( Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой называются смежными). ***Если пара ленивых прямых пересекут угол на одной стороне равные отрезки, то они отсекут их и на другой стороне. (Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне). ***Квадратное уравнение называется приведением, если коэффициент при старшем члене равен единице. (Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при старшем члене равен единице) ***Если в четырёхугольнике стороны ходят парами-это параллелограмм. ( Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом). *** Если точка х является экстремальной и в ней есть произвольная, то она равна 0. (Теорема Ферма, необходимое условие экстремума: Если точка х является точкой экстремума функции f(х) и в этой точке существует производная, то она равна нулю.) *** В каждом выпученном многограннике сплюсованные грани и вершины большие, больше даже двух рёбер. (В каждом выпуклом многограннике сумма числа граней и вершин больше числа ребер на два). *** В цилиндр вмещается «пи», квадратный радиус и высота. (Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту). *** Если трапецию невозможно вписать в круг, то она разнобедренная. (Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная). ***Если диагонали разноугольника пересекаются под ровными углами, то этот разноугольник квадратен. (Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник квадрат). ***Отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, называется шириной. (Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией). *** Математической деградацией называется такая цепочка чисел, в которой разница между последующим умозаключением и предыдущим предположением остаётся. (Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разница между последующим числом и предыдущим остается неизменной). ***Угольник со многими углами называется выпуклым, если он лежит в одну сторону от каждой прямой, проходящей через две соседние вершины. (Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две соседние вершины). ***Если одна параллельная палка проходит через данную плоскость, то другая параллельная проткнет ее насквозь. (Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость). 2задание. И техниками быстрого счета, вы владеете неплохо. Неординарно видео (смотрите ссылку в лучших ответах тура), крестьянский способ умножения, умножение методом Ферроля. Самый любимый способ у команд, умножение на 11. Только не забывайте проверять грамматические ошибки, особенно, в математических терминах и наречиях, а «складываемое число» обычно называют слагаемым. Перечислять способы мы не станем, вам хорошо знакомы сайты, содержащие эту информацию. 3задание. Оно оказалось самым сложным, не все команды знакомы с примитивными тройками. Но посмотрите, как неординарно справилась команда «Вектор перемен» с этим заданием (в лучших ответах тура). Подробный ответ на третий вопрос. Идет речь о теореме Пифагора. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа. Заслуга Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Пифагоровы тройки. В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел x,y,z удовлетворяющих соотношению Пифагора. При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Поскольку уравнение однородно, при домножении на x,y,z, и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. ПИФАГОРОВА ТРОЙКА x,y,z, НАЗЫВАЕТСЯ ПРИМИТИВНОЙ, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,y,z, являются ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ числами. Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5. Некоторые примитивные пифагоровы тройки: (3, 4, 5),(8, 15, 17),(7, 24, 25),(20, 21, 29), (9, 40, 41). Дополнение к ответу. Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Наличие бесконечного множества троек пифагоровых чисел позволяет сформулировать ряд весьма интересных задач. Особенно привлекли математиков следующие три задачи. Задача №1 Найти все тройки пифагоровых чисел, в которых два числа из трёх являлись бы последовательными числами. (Например, тройка 20, 21, 29). Задача №2 Найти все тройки пифагоровых чисел, чтобы одно из трёх чисел, входящих в тройку, было полным квадратом. (Например, тройки 3, 4, 5; 7, 24, 25; 9, 40, 41; и т. д.). Задача №3 (Задача Ферма.) Найти такие тройки (x,y,z) пифагоровых чисел, чтобы x+y и z являлись полными квадратами. Оказывается, таких троек существует бесконечное множество, но все они выражаются очень большими числами. |
| Игра 2012/2013 года |
| Результаты 2 тура |
| Лучшие ответы 2 тура команд по математике |
Используются технологии uCoz